Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} của R {\displaystyle \mathbb {R} } với topo Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập

A = { 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 4 , 3 4 … , 1 n , n − 1 n , … } {\displaystyle A=\left\{{\dfrac {1}{2}},{\dfrac {1}{3}},{\dfrac {2}{3}},{\dfrac {1}{4}},{\dfrac {3}{4}}\ldots ,{\dfrac {1}{n}},{\dfrac {n-1}{n}},\ldots \right\}}

thì 0 {\displaystyle 0} sẽ là một điểm tụ của A {\displaystyle A} . Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta K {\displaystyle K} là không gian compact (không gian K {\displaystyle K} là con của R {\displaystyle \mathbb {R} } với topo Euclide) khi và chỉ khi K {\displaystyle K} đóng và bị chặn trong R {\displaystyle \mathbb {R} } . Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và R {\displaystyle \mathbb {R} } là không compact.

Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy.... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:

• Không gian con của không gian Euclide là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
• Trong không gian metric, khái niệm compact dãy trùng với khái niệm compact tổng quát.

Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian ( X , τ ) {\displaystyle \left(X,\tau \right)} được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của X {\displaystyle X} , ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.